নিউটনের গতির ২য় সূত্র হতে ১ম সূত্র প্রতিপাদন কর?

নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র থেকে আমরা পাই: 

F=ma$\mathbf{F}=m\mathbf{a}$

যেখানে F$\mathbf{F}$ হল গিয়ে কোনো বস্তুর উপর প্রযুক্ত বল, m$m$ বস্তুটির ভর আর a$\mathbf{a}$ হল বস্তুটির ত্বরণ ।

এবার যদি প্রযুক্ত বল F=0$\mathbf{F}=0$ হয়, তবে এই সমীকরণ অনুযায়ী, a=0$\mathbf{a}=0$ কারণ বস্তুর ভর শূন্য হতে পারে না ।

যেহেতু ত্বরণ শূন্য, এর অর্থ বস্তুটি হয় সুষম গতিবেগসম্পন্ন নয়তো স্থির; অর্থাৎ বাইরে থেকে কোনো বস্তুর উপর বল প্রয়োগ না করা হলে একটি স্থির বস্তু স্থির থাকবে এবং একটি সরলরেখা বরাবর চলমান বস্তু সরলরেখা বরাবর চলতে থাকবে (যেহেতু চলপথ সরলরৈখিক না হলে গতিবেগ সুষম হতে পারে না ) । পেয়ে গেলাম নিউটনের প্রথম সূত্র ।

---

আপাতদৃষ্টিতে দেখলে যুক্তিটার মধ্যে ভুল কিছু চোখে পড়ে না । স্কুলে থাকতে আমারও পড়েনি । কিন্তু কলেজে প্রথম দিনের ক্লাসেই স্যার খুব সুন্দর ভাবে আমার সেই ভুল ধারণা ভেঙে দিলেন । আর বুঝতে পারলাম পদার্থবিদ্যাটা যত ভালো বুঝি ভেবেছিলাম তত ভালো বুঝি না ।

এবারে আসা যাক গন্ডগোলটা কোথায় সেখানে । সত্যি বলতে গেলে, এরকম প্রশ্ন যদি কোনো শিক্ষক করে থাকেন তবে হয় তিনি ছাত্র-ছাত্রীদের ধারণা পরীক্ষা করছেন নয়তো, আপসোস, তাঁর নিজেরই ধারণা পরিষ্কার নেই ।

কারণ নিউটনের প্রথম সূত্রের মাধ্যমে ভীষণ গুরুত্বপূর্ণ একটা ধারণা প্রদান করা হয় যেটা হলো জড় নির্দেশতন্ত্র বা inertial frame এর ধারণা । এই ধারণা প্রতিষ্ঠা না হলে নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র অর্থহীন । কারণ দ্বিতীয় সূত্রটি কেবল জড় নির্দেশতন্ত্রের ক্ষেত্রেই সত্যি ( জড় নির্দেশতন্ত্র না হলে, অর্থাৎ non-inertial frame হলে সেক্ষেত্রে 'কাল্পনিক বলের' উদ্ভব হবে নির্দেশতন্ত্রের নিজস্ব ত্বরণের জন্য ) । অতএব বোঝাই যাচ্ছে যে নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র থেকে প্রথম সূত্র প্রতিপাদন করা সম্ভব নয়*।

তবে এইটা ছাড়াও গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকেও আরেকটা মোক্ষম যুক্তি আছে । যেটা হল, কোনো একটা মুহূর্তে একটা বস্তুর গতিবেগের মান এবং তার উপর প্রযুক্ত বল শূন্য হলেই যে ভবিষ্যতের সমস্ত মুহূর্তে সেই বস্তুর স্থান অপরিবর্তিত থাকবে এমন কোনো নিশ্চয়তা নেই!

ভালো করে লক্ষ্য করুন ব্যাপারটা: ধরা যাক সময় t=0$t=0$ তে বস্তুটি x=x0$x=x_0$ তে রয়েছে (স্থানের একটাই মাত্রা ধরে নিলাম ), তার গতিবেগের মান v(t=0)=0$v(t=0)=0$ এবং তার উপর প্রযুক্ত বল F(t=0)=0$F(t=0)=0$ । এই অবস্থায় এটাই ধরে নেওয়া স্বাভাবিক যে বস্তুটি সবসময় x=x0$x=x_0$ তেই থাকবে । কিন্তু ব্যাপারটা আরেকটু জটিল । কারণ x=x0$x=x_0$ র কাছে বস্তুটির স্থানের সময় নির্ভরতাকে টেলর সম্প্রসারণ (Taylor Expansion) করা যায়:

x(t)=x0+x˙0t+12!mF0t2+13!m(dFdt)0t3+...$x(t)=x_0+{\dot{x}}_{0}t+\frac{1}{2!m}{F}_0{t}^2+\frac{1}{3!m}{\left(\frac{dF}{dt}\right)}_0{t}^3+...$

দেখা যাচ্ছে এই সম্প্রসারণে একটা (dFdt)0${\left(\frac{dF}{dt}\right)}_0$ পদ রয়েছে এবং t$t$ এর আরো উচ্চতর ঘাতের জন্য F$F$ এর আরো higher-order derivative পদ পাওয়া যাবে । এর অর্থ কী?

অর্থ এটাই যে t=0$t=0$ তে শুধু বলের মান শূন্য হলেই যথেষ্ট নয়; যতক্ষণ না বলটির সমস্ত higher-order derivative গুলোও সাথে-সাথে শূন্য হচ্ছে, বস্তুটি সময়ের সাথে-সাথে স্থান পরিবর্তন করে ফেলতে পারে!

একমাত্র যখন টেলর সম্প্রসারণের সমস্ত সময়-নির্ভর পদগুলি শূন্য হবে, তখনই নিউটনের প্রথম সূত্র প্রযোজ্য ।

এখানেই নিউটনের প্রথম সূত্রের গভীরতা ।